Скорее всего, кончик хвоста у котенка был поврежден или отморожен. Если явного воспаления нет, стоит в плановом порядке показаться своему врачу и хирургически обработать кончик хвоста, возможно, удалить один-два позвонка. Это не сложно.
Стоит заранее купить защитный воротник, чтобы кот не разлизал свой леченный хвост.